Алгебра. 9 класс. Поурочные разработки А. Н. Рурукин

У нас вы можете скачать книгу Алгебра. 9 класс. Поурочные разработки А. Н. Рурукин в fb2, txt, PDF, EPUB, doc, rtf, jar, djvu, lrf!

Пособие предлагает полный комплект поурочных разработок по алгебре для 9 класса, ориентированных на педагогов, работающих по учебному комплекту А. Издание содержит все, что необходимо для качественной подготовки к урокам: Предлагаемый материал достаточен для проведения полноценных уроков в классах и группах различного уровня, позволяет не только глубоко изучить программу 9 класса по предмету, но и подготовить учащихся к сдаче ГИА.

Может быть использовано как начинающими педагогами, так и преподавателями со стажем. Сообщение темы и цели уроков II.

Характеристика контрольной работы Контрольная работа составлена в шести вариантах различной сложности варианты 1, 2 самые простые, варианты 3, 4 - сложнее и варианты 5, 6 - самые сложные. При этом сложность вариантов нарастает не очень резко. Каждый вариант содержит 6 задач примерно одинаковой сложности может быть, несколько сложнее две последние задачи. Одна задача является резервной или запасной и дает некоторую возможность выбора учащимся. При таких же критериях оценки в случае вариантов 3, 4 дается дополнительно 0,5 балла и в случае вариантов 5,6 - дополнительно 1,0 балла учитывая более высокую сложность этих вариантов.

В 8 классе учащиеся уже решали квадратные уравнения с помощью выделения квадрата двучлена из квадратного трехчлена, то есть данный прием им знаком.

Однако следует еще раз разобрать несколько примеров и записать алгоритм, по которому выполняется это преобразование. Сначала лучше привести несложный пример, где коэффициент а квадратного трехчлена равен 1, а коэффициент b — четный: Затем нужно разобрать сложный пример.

При этом учащиеся записывают в тетрадях проводимые преобразования и их словесное описание в общем виде, то есть составляют алгоритм выделения квадрата двучлена из квадратного трехчлена. Далее следует разобрать пример 3 из учебника, который показывает, как прием выделения квадрата двучлена из квадратного трехчлена может быть использован при решении геометрической задачи. Выделим квадрат двучлена из данного квадратного трехчлена: Пусть один катет треугольника равен х см.

Тогда второй катет равен 6 — х см, а площадь треугольника равна x 6 — x см 2. Раскрыв скобки в выражении x 6 — x , получим 3 х — x 2. Выделим из него квадрат двучлена: Таким образом, площадь будет наибольшей, когда один катет треугольника равен 3 см, тогда второй катет тоже равен 3 см, то есть треугольник является равнобедренным.

Для этого выделим из него квадрат двучлена: Сильным в учебе учащимся дополнительно можно дать карточки. Имеется прямоугольник со сторонами 3 и 5 см.

Большую его сторону уменьшили на а см, а меньшую увеличили на такое же число сантиметров. При каком значении а площадь полученного прямоугольника окажется наибольшей? Имеется прямоугольник со сторонами 8 и 12 см. Большую его сторону уменьшили на b см, а меньшую увеличили на такое же число сантиметров. При каком значении b площадь полученного прямоугольника окажется наибольшей? Р е ш е н и е аналогично предыдущей задаче.

Найдите корни квадратного трехчлена: Выделите квадрат двучлена из квадратного трехчлена: Теорема о разложении квадратного трехчлена на множители. Сколько корней имеет квадратный трехчлен: Сначала необходимо актуализировать знания учащихся и создать у них мотивацию. Поэтому следует разобрать, как разложить на множители квадратный трехчлен методом группировки, рассмотрев несколько примеров: Выполнение этих заданий позволит учащимся повторить метод группировки разложения многочлена на множители, а также убедиться в том, что этот метод не является достаточно удобным в данной ситуации.

Учитель сообщает, что существует теорема, позволяющая разложить на множители квадратный трехчлен более простым способом. Далее следует разобрать теорему, после чего предложить учащимся применить ее к тем трехчленам, которые были разложены на множители методом группировки в начале урока.

Учащиеся убеждаются, что результаты получаются одинаковые. На этом уроке учащиеся выполняют задания на непосредственное применение изученной теоремы. Использование теоремы для упрощения выражений лучше рассмотреть на следующем уроке. Учащиеся могут подобрать такой трехчлен с конкретными коэффициентами и разложить его на множители.

Однако доказательство факта, данного в задаче, необходимо провести в общем виде. Его дискриминант равен —8 п 2 , то есть трехчлен такого вида корней не имеет, значит, не удовлетворяет условию задачи. Условию будут удовлетворять только два трехчлена: Разложим их на множители: Подставляя конкретные значения п , можно получить бесконечно много квадратных трехчленов указанного вида: Применение теоремы о разложении квадратного трехчлена на множители для преобразования выражений.

Определите, можно ли представить квадратный трехчлен в виде произведения многочленов первой степени: На этом уроке следует обобщить знания учащихся о различных способах разложения многочленов на множители.

Особое внимание нужно уделить двум вопросам: Поскольку для сокращения дробей и упрощения выражений учащимся потребуется знание всех способов разложения многочленов на множители, то для начала необходимо актуализировать эти знания. Учитель сообщает учащимся, что теперь им известны все основные способы разложения многочленов на множители и просит перечислить эти способы. В тетрадях у учащихся должны быть записаны названия всех четырех способов и приведены примеры.

Вынос общего множителя за скобки: Применение формул сокращенного умножения: Разложение на множители квадратного трехчлена: Далее выделяются две основные группы заданий, при выполнении которых необходимо умение раскладывать многочлен на множители: Если останется время, то можно предложить учащимся задание на построение графика функции. Данная функция не является элементарной, и по точкам ее строить неудобно. Сократим дробь, задающую функцию: Разложите на множители квадратный трехчлен: Объяснение проводить согласно пункту учебника, увеличив степень самостоятельности учащихся.

Определите, график какой функции изображен на рисунке: Графики каких из перечисленных функций изображены на рисунках? Постройте недостающий график функции и перечислите ее свойства.

Формирование умения и навыков. Данное задание не должно вызывать затруднений у учащихся, поскольку им известно решение одной из основных задач на функцию: Для каждой из данных функций найдите ее график.

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: Уравнение будет иметь единственное решение в том случае, если дискриминант равен нулю: Учащиеся могут искать коэффициент подбором, используя изображенные графики. Однако после нахождения нужного числа следует предложить учащимся аналитически проверить полученный ответ.

По рисунку ясно, что это число удовлетворяет условию, однако можно привести аналитическое подтверждение: Наибольший интерес представляет вопрос о том, можно ли подобрать положительное число а , удовлетворяющее условию задачи. Парабола пересечет данную прямую, если она будет как можно шире, то есть число а будет как можно ближе к нулю, например: Получаем, что взятое число не достаточно мало.

Для каждого из графиков, изображенных на рисунке, найдите соответствующую функцию. Объяснение проводить согласно пункту учебника. Построение каждого графика учащиеся должны осуществлять по следующей схеме: По данной формуле квадратичной функции ответьте на вопросы: Изобразите схематически график функции: На рисунке изображены графики функций: Для каждой из функций укажите номер соответствующего графика. Для каждого из графиков, изображенных на рисунке, найдите соответствующую функцию: Учащиеся выполняют з а д а н и я двух групп: Задайте формулой функцию, график которой изображен на рисунке: Изобразите схематически графики функций: Укажите координаты вершины параболы и направление ее ветвей: Объяснение целесообразно начать с постановки задачи: Важно, чтобы учащиеся осознали, что таким образом можно преобразовать любую функцию и построить ее график.

Учитель приводит доказательство данного утверждения на доске, обращая внимание учащихся на то, что в процессе доказательства появилась формула для нахождения координаты вершины параболы.

Это дает возможность упростить построение графика квадратичной функции, не прибегая к выделению квадрата двучлена из квадратного трехчлена. Далее учитель записывает на доске, учащиеся — в тетрадях алгоритм построения графика квадратичной функции.

Определить направление ветвей параболы. Изобразить ось симметрии параболы. Построить несколько точек, принадлежащих одной из ветвей параболы справа или слева от ее вершины. Построить симметрично точки, принадлежащие другой ветви параболы. Соединить отмеченные точки плавной линией. Параллельно записи алгоритма учитель должен демонстрировать на конкретном примере использование каждого его пункта. Затем разобрать еще один пример график строит учитель на доске, а учащиеся комментируют применение алгоритма с места.

На первых порах требовать от учащихся проговаривания вслух всех шагов построения. На этом уроке учащиеся продолжают выполнять задания на построение графика квадратичной функции, при этом перечисляя по графику свойства функций. Учащиеся перечисляют свойства согласно изученной ранее схеме и записывают их в тетрадь.

Пусть х 1 и х 2 — нули функции, тогда: После проведенного исследования учащиеся смогут перечислять свойства квадратичной функции без построения ее графика.

Найдите область значений функции: Найдите промежутки возрастания и убывания функции: Перечислите свойства функции, не строя ее график: Влияние коэффициентов а, b и с на расположение графика квадратичной функции. Это уравнение является квадратным, найдем его дискриминант: Учащиеся обладают достаточными знаниями, чтобы выполнить это задание самостоятельно.

После этого можно привести пример, показывающий, что можно сказать о коэффициентах а , b и с по графику функции. Значение с можно назвать точно: Коэффициент а можно сравнить с нулем: Знак коэффициента b можно узнать из формулы, определяющей абсциссу вершины параболы: Определите, график какой функции изображен на рисунке, опираясь на значение коэффициентов а , b и с.

По изображенному графику делаем следующие выводы о коэффициентах а , b и с: Чтобы узнать знак коэффициента b воспользуемся формулой для нахождения абсциссы вершины параболы: Свойства и график степенной функции.

При изучении степенной функции следует больше внимания уделить самостоятельной работе учащихся, предложив им сделать основные выводы и перечислить свойства новой функции. О б ъ я с н е н и е может быть построено по следующей схеме: Сообщить учащимся, что функции, графики которых они строили, называются степенными функциями с натуральным показателем и записываются в общем виде: На этом уроке основное внимание следует уделить заданиям на изображение и различение графиков степенных функций, а также на использование их свойств.

Использование свойств степенной функции при решении различных задач. Свойства и график степенной функции могут быть использованы при решении двух основных типов задач: Необходимо, чтобы учащиеся умели выполнять такие задания. В задании предложены три типа преобразований: На рисунке показано, как будут выглядеть графики данных функций: Сколько корней имеет уравнение: Понятие корня п -й степени и арифметического корня п -й степени.

Объяснение проводить в соответствии с пунктом учебника, придерживаясь следующей схемы: Необходимо добиться от учащихся четкой формулировки определения корня п -й степени. На доску следует вынести запись: Прочитайте корень п -й степени и назовите, чему равен показатель корня и подкоренное выражение. Р а с с м о т р е н и е примеров вычисления корней п -й степени. Примеры должны быть различны: Важно, чтобы учащиеся осознали следующее: Это позволит подойти к понятию арифметического корня п -й степени.

В в е д е н и е п о н я т и я арифметического корня п -й степени. После того, как будет разобрано определение арифметического корня п -й степени, необходимо на доску вынести равенства, которые помогут учащимся при вычислении выражений с корнями. Нахождение значений выражений, содержащих корни п -й степени. Прочитайте корень и назовите, чему равен его показатель и подкоренное выражение: На этом уроке нужно добиться от учащихся автоматизма при вычислении корней п -й степени, а также формировать у них умение применять следующие равенства: При построении графиков используется зеркальное отображение относительно оси абсцисс и оси ординат.

На рисунке изображены графики заданных функций: Учащиеся обмениваются тетрадями и проверяют работы друг друга. При этом учитель вновь зачитывает каждое утверждение и обсуждает их с учащимися.

Разложите на множители квадратный трехчлен:. Найдите с помощью графика:. Найдите с помощью графика: Решение вариантов контрольной работы. Найдем координаты т ; п вершины параболы: А 1; —9 — вершина параболы. Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена: А 2; —9 — вершина параболы. А 3; —4 — вершины параболы.

А 4; —3 — вершины параболы. Понятие целого уравнения и его степени. Определите, сколько корней имеет уравнение: Вопрос о методах решения целых уравнений выше второй степени целесообразно изучить на следующем уроке.

Объяснение проводится по следующей с х е м е: После формирования определения данного понятия необходимо дать учащимся задание на распознавание целых уравнений. Какие из следующих уравнений являются целыми? После введения данного понятия дать учащимся задание на определение степени целого уравнения. Р а с с м о т р е н и е р е ш е н и я линейных и квадратных уравнений как целых уравнений первой и второй степени соответственно.

Необходимо, чтобы учащиеся осознали следующее: Для решения нужно предлагать им уравнения не выше второй степени. Какие из следующих чисел —3; —2; —1; 0; 1; 2; 3 являются корнями уравнения:. Выражения 5 х 6 , 6 х 4 и х 2 могут принимать только неотрицательные значения при любых значениях х. Пусть ребро куба равно х см, тогда его объем равен х 3 см 3. Основные методы решения целых уравнений. Составьте какое-либо уравнение третьей степени, имеющее корни —2; 2 и 5.

Составьте какое-либо уравнение третьей степени, имеющее корни 0; —3 и 5. На этом уроке необходимо рассмотреть два основных метода решения целых уравнений и сделать ряд важных выводов. Необходимо, чтобы учащиеся осознали, что им уже известны приемы решения целых уравнений первой и второй степени.

Сообщить учащимся, что существуют также формулы корней целых уравнений третьей и четвертой степени, но их использование на практике неудобно. Существуют два основных метода решения целых уравнений выше второй степени:. Желательно, чтобы учащиеся занесли себе в тетради изображенную схему.

Необходимо также обратить внимание учащихся, что уравнение п -й степени может иметь не более п корней. На этом уроке учащиеся только начинают осваивать методы решения целых уравнений выше второй степени. Поэтому задания должны быть несложными и разбиты на две группы в соответствии с методами решения.

Почему они редко применяются на практике? Решение целых уравнений различными методами. Определите, каким методом может быть решено каждое из данных целых уравнений:.

На этом уроке учащиеся продолжают применять разные методы решения целых уравнений. При этом внимание уделяется не только грамотному их использованию, но и умению распознавать по внешнему виду уравнения тот метод, который целесообразно применить в данной ситуации. Разложим выражение, стоящее слева, на множители методом группировки. Некоторым сильным в учебе учащимся можно дополнительно дать карточки-задания. При каких значениях параметра а не имеет корней уравнение. Найдем произведение крайних и средних множителей, заменив их трехчленами.

Биквадратное уравнение не имеет корней в двух случаях: Предположим, что они отрицательные. Однако, по теореме Виета, имеем: Таким образом, полученное квадратное уравнение не может иметь одновременно двух отрицательных корней.

Так же, как и при решении уравнения из карточки 1, выполним преобразование и получим уравнение:. Значит, при таких значениях а данное биквадратное уравнение корней не имеет. Решение более сложных целых уравнений. Все задания можно разбить на две группы. В первую группу войдут задания на решение целых уравнений, при этом учащимся в полной мере потребуются полученные ранее знания, а также умения анализировать, рассуждать, делать выводы.

Во вторую группу войдут задания на решение целых уравнений с параметром. В классе с невысоким уровнем подготовки вторую группу заданий можно не выполнять. Чтобы найти точки пересечения графика с осью ОХ нужно решить уравнение: Значит, ось ОХ график данной функции пересекает в трех точках: Разложим выражения, стоящие в скобках, на множители.

Найдем произведение крайних и средних множителей: Выделим из каждого трехчлена, стоящего в скобках, квадрат двучлена: Получаем, что первый множитель принимает значения, не меньшие двух, а второй множитель — не меньшие единицы. Тогда произведение может быть равно 2 только в том случае, если первый множитель равен 2, а второй при этом равен 1.

Значит, исходное уравнение корней не имеет. Значит, при а —10; 10 данное биквадратное уравнение корней не имеет. Данное уравнение должно иметь два корня, то есть дискриминант должен быть положительным: Подставим полученные выражения в это равенство: Опишите каждый из них. Сколько корней они могут иметь? Опишите все возможные случаи. Решение дробно-рациональных уравнений по алгоритму. Верно ли, что выражение обращается в нуль: В 8 классе учащиеся уже изучали данную тему.

Сейчас необходимо расширить их знания. Отличия дробно-рациональных уравнений, изучаемых в 9 классе, состоят в следующем: На этом уроке целесообразно актуализировать знания учащихся о решении дробно-рациональных уравнений по алгоритму.

Вопрос о других приемах и методах решения дробно-рациональных уравнений лучше рассмотреть на следующем уроке. Объяснение материала проводится в несколько э т а п о в. И з у ч е н и е п о н я т и я дробно-рационального уравнения. Усвоение данного понятия проверяется при решении упражнения на распознавание этого вида уравнений. Какие из следующих уравнений являются дробно-рациональными? В ы в о д а л г о р и т м а решения дробно-рациональных уравнений.

Алгоритм приведен на с. Желательно, чтобы учащиеся занесли его в тетрадь. Р а с с м о т р е н и е п р и м е р о в решения дробно-рациональных уравнений по изученному алгоритму пример 1 и пример 3 из учебника. Использование различных приемов и методов при решении дробно-рациональных уравнений.

Какие из чисел —1; 0; 2; 3 являются корнями уравнения: Сначала необходимо актуализировать знания учащихся, попросив их рассказать алгоритм решения дробно-рациональных уравнений. После этого предложить учащимся использовать этот алгоритм при решении уравнения. Далее делается в ы в о д, что решение данного уравнения по алгоритму является громоздким, поэтому целесообразно применить ряд преобразований. Рассмотреть пример 4 из учебника. Здесь возникает такая же ситуация: Зато после введения новой переменной полученное уравнение решается довольно просто.

На основании рассмотренных примеров делаются следующие в ы в о д ы: В классе с высоким уровнем подготовки можно решить еще несколько дробно-рациональных уравнений. Вычтем и прибавим к выражению, стоящему в левой части уравнения, выражение , чтобы получить полный квадрат: Алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной.

В в е д е н и е п о н я т и я неравенства второй степени с одной переменной. Какие из следующих неравенств являются неравенствами второй степени с одной переменной? С о с т а в л е н и е а л г о р и т м а решения неравенств второй степени с одной переменной. Поставить перед учащимися проблему: Если учащиеся не догадаются, то можно вернуться к заданиям устной работы и наводящими вопросами помочь им сделать в ы в о д: Желательно, чтобы учащиеся самостоятельно вывели алгоритм решения этих неравенств.

Р а с с м о т р е н и е п р и м е р о в решения неравенств второй степени с одной переменной. На этом уроке необходимо рассмотреть разные ситуации, возникающие при решении неравенств второй степени с одной переменной.

Нужно, чтобы учащиеся запомнили алгоритм и применяли его без помощи учителя. В соответствии с количеством корней трехчлена, получаемых в процессе решения неравенств, все задания можно разбить на три группы. В первую группу войдут неравенства, у которых квадратный трехчлен имеет два корня, во вторую — один корень, и в третьей группе будут неравенства, квадратный трехчлен которых не имеет корней.

Применение алгоритма решения неравенств второй степени с одной переменной. Учащиеся обмениваются тетрадями, учитель вновь зачитывает вопросы математического диктанта. Происходит обсуждение ответов и учащиеся выставляют друг другу оценки по следующей шкале: Более сложные задачи, требующие применения алгоритма решения неравенств второй степени с одной переменной. На этом уроке учащиеся должны решать более сложные задания, которые потребуют от них осознанного владения алгоритмом решения неравенств второй степени с одной переменной.

Все задания можно разбить на 2 группы. Если класс невысокого уровня подготовки, то вторую группу заданий решать не нужно. Кроме того, сильным в учебе учащимся можно дать дополнительные задания на решение уравнений и неравенств с параметрами.

Решая его, находим, что а [—12; 5], то есть меньшая сторона прямоугольника не должна превосходить 5 см. Найдем корни квадратных трехчленов и изобразим схематически параболы на одной числовой прямой: По рисунку видим, что решением данной системы будет промежуток —2; 3. Для нахождения области определения данной функции достаточно решить систему неравенств: Так же, как в предыдущем задании, наносим на числовую прямую параболы и заштриховываем искомые промежутки: Получаем, что х [2; 5].

Чтобы данное уравнение имело 2 решения, необходимо выполнение следующих условий: Согласно этим условиям получим систему: Решением второго неравенства системы является промежуток —6; 4. Решая это неравенство, получим, что а 0; 4.

Этот промежуток удовлетворяет обоим условиям. Подставляя это значение в исходное неравенство, получим: При каких значениях т область определения функции. Чтобы найти область определения данной функции, нужно решить систему неравенств: Эта система будет иметь единственное решение в двух случаях: Решение целых рациональных неравенств методом интервалов.

На этом уроке целесообразно изучить суть метода интервалов и рассмотреть его применение при решении целых рациональных неравенств. Как метод интервалов используются при решении дробно-рациональных неравенств лучше разобрать на следующем уроке. Начать изучение новой темы лучше с постановки перед учащимися конкретной задачи: Это неравенство они должны решить, исходя из логических рассуждений, то есть отвечая на вопрос: При ответе на этот вопрос возникают два случая: Значит, нужно решить две системы неравенств: Исходя из результата, делается вывод, что такой способ решения неравенств подобного вида приемлем.

Тогда учитель предлагает учащимся решить другое неравенство: Учащиеся осознают, что рассуждения о возможных знаках каждого из трех множителей будут громоздкими, поэтому лучше искать другой способ решения данного неравенства.

После этого следует разобрать суть метода интервалов и сделать вывод о том, что этот метод приемлем к целым неравенствам с любым количеством множителей, то есть он более универсален. Затем можно вернуться к первому неравенству и решить его методом интервалов, разложив предварительно на множители выражение х 2 — 4.

Необходимо обязательно добиться того, чтобы учащиеся осознали, что решение этого неравенства методом интервалов гораздо рациональнее. Далее нужно рассмотреть случаи, когда до применения метода интервалов необходимо привести неравенство к стандартному виду: В этой группе собраны неравенства, записанные не в том виде, к которому непосредственно применяется метод интервалов.

Важно, чтобы у учащихся вырабатывался навык приведения неравенств к стандартному виду, иначе в дальнейшем могут возникать ошибки при расстановке знаков на интервалах. Решение целых и дробных неравенств методом интервалов.

Все упражнения можно разбить на 2 группы. В первую группу войдут целые неравенства, которые учащиеся уже умеют решать. Во второй группе будут дробно-рациональные неравенства. Перед тем как приступать к их решению, необходимо объяснить учащимся особенности применения метода интервалов к неравенствам такого вида. Применение метода интервалов при решении более сложных неравенств. Найдите область определения функции: Все задания, выполняемые на уроке, можно разбить на две группы.

В первую группу войдут дробные неравенства и неравенства, которые до применения метода интервалов предварительно нужно преобразовать, разложив на множители их левую часть. Во вторую группу войдут более сложные неравенства. Чтобы применить к ним метод интервалов, необходимо сначала перейти к равносильной системе. Вторую группу заданий следует решать в классе с высоким уровнем подготовки. Решая эту систему, получим, что х 1; 2].

Решите неравенство, разложив его левую часть на множители: Решая его, находим, что х. Выражение х —3 2 неотрицательно при всех значениях х , и если оно равно нулю, то и произведение х —3 2 х — 10 равно нулю. Поэтому данное равносильно системе:. Разложим на множители числитель и знаменатель дроби: Данное неравенство равносильно системе: Решая систему, находим, что х —4; 3 3; Необходимо обобщить и систематизировать знания учащихся о видах уравнений и неравенств и методах их решения.

Для этого нужно со-ставить классификацию уравнений и неравенств, изобразив ее на плакате или на доске. Учащиеся должны занести в тетрадь соответствующие схемы. Все задания можно разбить на три группы. Каждая группа будет содержать упражнения на решение всех изученных видов уравнений и неравенств. Отличие групп друг от друга состоит в уровне сложности, входящих в них уравнений и неравенств.

В классе с невысоким уровнем подготовки третью группу заданий можно не выполнять. Данное квадратное уравнение согласно условию должно иметь корни, значит, его дискриминант не может быть отрицательным. Получаем, что уравнение при любом а имеет два корня: Чтобы эти корни принадлежали указанному промежутку, меньший из них должен быть не меньше —5, а больший — не больше 5.

Чтобы данное квадратное уравнение имело два различных корня, его дискриминант должен быть положительным: По теореме Виета, произведение корней данного уравнения равно 9. Это означает, что корни имеют одинаковые знаки. Чтобы эти корни были положительны, должно выполняться следующее условие: Решите неравенство, используя метод интервалов: Парабола не пересекает ось х.

Понятие уравнения с двумя переменными. Объяснение проводить согласно пункту учебника, включая устные задания, проверяющие степень усвоения материала. Какие из следующих уравнений являются уравнениями с двумя переменными: Необходимо актуализировать знания учащихся о графиках известных им элементарных функций. Рассмотреть вопрос о том, как может быть построен график уравнения с двумя переменными. Основное внимание на этом уроке следует уделить понятию уравнения с двумя переменными и нахождению его корней подбором.

На формирование этого умения направлена первая группа заданий. Во вторую группу войдут задания, связанные с графиком уравнений с двумя переменными. Более сложные задания на построение графиков лучше рассмотреть на следующем уроке. Найдите несколько решений уравнения: Выразим переменную х через у: Чтобы х было целым числом, выражение должно принимать целые значения, то есть число 2 должно нацело делиться на у. Преобразуем выражение х 2 — у 2 по формуле разности квадратов: Целые числа дают в произведении 3 в четырех случаях: Получим четыре системы уравнений: Решая эти системы, находим нужные пары чисел.

Является ли пара чисел 2; —1 решением уравнения: Найдите два каких-нибудь решения уравнения: Сначала следует актуализировать знания учащихся об известных им графиках уравнений с двумя переменными.

Задания можно разбить на две группы. Сначала учащиеся по данному уравнению окружности строят ее, а затем выполняют задания на составление уравнения окружности. В классе с высоким уровнем подготовки можно выполнить несколько дополнительных заданий. Для того чтобы доказать, что графиком этого уравнения является окружность, его нужно привести к виду. Таким образом, графиком данного уравнения является окружность с центром в точке 3; —3 и радиусом 5. Суть графического способа решения систем уравнений.

Является ли пара чисел —1; 3 решением системы уравнений: Сначала необходимо актуализировать знания учащихся по следующим вопросам: Показать учащимся, что в некоторых ситуациях необходимо уметь решать не только системы линейных уравнений, но и системы, в которых хотя бы одно из уравнений имеет вторую степень.

Продемонстрировать графический способ решения систем уравнений пример из учебника. Задания лучше разбить на две группы.

Первая группа подготавливает учащихся к применению графического способа решения систем уравнений. А во вторую группу будут входить задания на непосредственное решение систем уравнений графически. С помощью этого графика решите систему уравнений: Решение систем уравнений графически.

Сколько решений имеет система уравнений, если графики уравнений, входящих в нее, изображены ниже на рисунке? Решите графически систему уравнений: При поиске ответа на этот вопрос предложить им использовать графические представления. В итоге, учащиеся должны прийти к выводу, что система уравнений может иметь одно, два, три, четыре решения, а может не иметь решений. К каждой из этих ситуаций учащиеся в тетрадях должны изобразить по несколько примеров. В классе с высоким уровнем подготовки можно дополнительно выполнить еще несколько номеров.

Таким образом, данная система имеет 4 решения. В результате получаем следующие графические иллюстрации: Таким образом, данная система уравнений может иметь два, три, четыре решения, а может не иметь решений.

© Крушина - дерево хрупкое Валентин Сафонов 2018. Powered by WordPress